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Bon, je lis ce très intéressant ouvrage qui affirme qu'il est illusoire de vouloir trouver le nombre d'or dans l'architecture, mise à part quelque cas de figure particulier (Le Corbusier par exemple): grosse déception quand même pour moi, car mon esprit romantique se plaisait à imaginer que ce nombre d'or avait servi à construire de prestigieux édifices...
Et là, j'ai un doute, je bondis de mon canapé l'autre jour: regardant en compagnie de ma fille un "c'est pas sorcier" sur les cathédrales dans le cadre de sa leçon d'histoire, j'y entends un compagnon maître-charpentier qui explique que les proportions des cathédrales suivaient le nombre d'or....Mario Livio serait-il aller un peu vite en besogne, ou notre maître-charpentier ne fait-il que véhiculer une "croyance" non documentée ?
"C'est pas Sorcier, Bâtisseurs de Cathédrale": https://www.youtube.com/watch?v=152Yprx1WDs, vers 13'
Et là, j'ai un doute, je bondis de mon canapé l'autre jour: regardant en compagnie de ma fille un "c'est pas sorcier" sur les cathédrales dans le cadre de sa leçon d'histoire, j'y entends un compagnon maître-charpentier qui explique que les proportions des cathédrales suivaient le nombre d'or....Mario Livio serait-il aller un peu vite en besogne, ou notre maître-charpentier ne fait-il que véhiculer une "croyance" non documentée ?
"C'est pas Sorcier, Bâtisseurs de Cathédrale": https://www.youtube.com/watch?v=152Yprx1WDs, vers 13'
Bonjour,
Je ne peux pas imaginer que le nombre d'or soit une illusion. Le nombre d'or est un rapport longueur/largeur et équivaut à r~ 1,62. Ce rapport se retrouve le cadre de nombreux objets, bâtiments, peintures...
Quelques exemples:
- Les cartes de banque: r = 85,5/54 = ~ 1,61
- Faîtes le test avec un paquet de cigarettes.
- La valeur particulière de r (aussi appelé "phi") définit le rectangle d'or. Prenez la façade du Parthénon. Tracez un rectangle entourant toute la façade (du sommet du fronton au pied des marches). Les dimensions entre le milieu de chaque colonne correspond au nombre d'or. Dans ce même rectangle entre les colonnes, la dimension entre le sommet du fronton et le dessous du tablier (en-dessous des triglyphes) correspond aussi au nombre d'or par rapport à la dimension entre les triglyphes et le sol. Extraordinaire non !
Un peu d'arithmétique: la suite de Fibonacci (mathématicien italien du XIIIième siècle) vous connaissez ? Il s'agit d'une suite de nombre qui constitue à chaque fois la somme des deux précédents 1-2-3-5-8-13-21-34.... et comme par hasard le rapport entre deux termes consécutifs correspond au nombre d'or 3/2=1,5 5/3 =1,67 8/5 = 1,6 13/8 = 1,6....je vous laisse le soin de vérifier plus loin.
On retrouve ce nombre d'or dans des constructions géométriques comme le triangle d'or et la spirale géométrique. Dans les phénomènes naturels: nombre de feuilles réparties en spirale autour d'une tige, dessin spiralé des coquillages. En musique: intervalle musical harmonieux rendu par la sixte. La divine proportion semble donc bien réalité.
Cette divine proportion est bien utilisée dans l'art que ce soit par les bâtisseurs de temples ou de cathédrales. C'est dans le rectangle d'or qu'il faut regardez pour par exemple voir les proportions des personnages dans des peintures de Manet, Cézanne...même la Joconde n'y échappe pas. Chaque partie du visage s'inscrit dans un rectangle où se retrouve "PHI"
On va clôturer en signalant que Léonard de Vinci y fait aussi référence dans son homme de Vitruve et sa divine proportion.
Donc Fanou03, le nombre d'or n'est pas un mythe mais une réalité donc se sert encore aujourd'hui (peut-être sans ce rendre compte) de nombreux artistes et artisans car c'est la proportion idéale pour les yeux.
Voilà, j'espère t'avoir convaincu de l'existence de cette divine proportion.
Je ne peux pas imaginer que le nombre d'or soit une illusion. Le nombre d'or est un rapport longueur/largeur et équivaut à r~ 1,62. Ce rapport se retrouve le cadre de nombreux objets, bâtiments, peintures...
Quelques exemples:
- Les cartes de banque: r = 85,5/54 = ~ 1,61
- Faîtes le test avec un paquet de cigarettes.
- La valeur particulière de r (aussi appelé "phi") définit le rectangle d'or. Prenez la façade du Parthénon. Tracez un rectangle entourant toute la façade (du sommet du fronton au pied des marches). Les dimensions entre le milieu de chaque colonne correspond au nombre d'or. Dans ce même rectangle entre les colonnes, la dimension entre le sommet du fronton et le dessous du tablier (en-dessous des triglyphes) correspond aussi au nombre d'or par rapport à la dimension entre les triglyphes et le sol. Extraordinaire non !
Un peu d'arithmétique: la suite de Fibonacci (mathématicien italien du XIIIième siècle) vous connaissez ? Il s'agit d'une suite de nombre qui constitue à chaque fois la somme des deux précédents 1-2-3-5-8-13-21-34.... et comme par hasard le rapport entre deux termes consécutifs correspond au nombre d'or 3/2=1,5 5/3 =1,67 8/5 = 1,6 13/8 = 1,6....je vous laisse le soin de vérifier plus loin.
On retrouve ce nombre d'or dans des constructions géométriques comme le triangle d'or et la spirale géométrique. Dans les phénomènes naturels: nombre de feuilles réparties en spirale autour d'une tige, dessin spiralé des coquillages. En musique: intervalle musical harmonieux rendu par la sixte. La divine proportion semble donc bien réalité.
Cette divine proportion est bien utilisée dans l'art que ce soit par les bâtisseurs de temples ou de cathédrales. C'est dans le rectangle d'or qu'il faut regardez pour par exemple voir les proportions des personnages dans des peintures de Manet, Cézanne...même la Joconde n'y échappe pas. Chaque partie du visage s'inscrit dans un rectangle où se retrouve "PHI"
On va clôturer en signalant que Léonard de Vinci y fait aussi référence dans son homme de Vitruve et sa divine proportion.
Donc Fanou03, le nombre d'or n'est pas un mythe mais une réalité donc se sert encore aujourd'hui (peut-être sans ce rendre compte) de nombreux artistes et artisans car c'est la proportion idéale pour les yeux.
Voilà, j'espère t'avoir convaincu de l'existence de cette divine proportion.
Passionnant. C'est une proportion idéale à travers le temps et à travers les cultures en plus ?
Mathématiquement la valeur de φ est telle qu'il est l'unique solution de l'équation x² = x + 1
Soit φ = (1+√5)/2
C'est effectivement vers ce nombre que tendent les rapports consécutifs de la suite de Fibonacci comme le montre très bien Usdyc
Les deux longueurs a et b telles que φ = a/b, si on en fait les côtés d'un rectangle, ont l'air visuellement harmonieuses, beaucoup plus qu'un rapport a/a, 2a/a ou a²/a qui ont plutôt l'air carré, ou oblong et disproportionné. Ainsi nous, lecteurs de CL, avons tous remarqué que tenir un livre carré à quelque chose d'inconfortable, tout comme un livre de rapport 2a/a. Le rapport choisi par les éditeurs n'est pas toujours le même mais on peut supposer que lui, aussi, tend à peu près vers une longueur idéale qui serait φ.
Les théories impliquant le nombre d'or ont deux objectifs très ambitieux et parfois brocardés pour cela car ils dépassent le cadre strict des mathématiques :
- démontrer que les ouvrages humains impliquent une recherche inconsciente de ce chiffre comme référence harmonieuse. Par exemple, on pourrait examiner 1000 crucifix ou cathédrales (la cathédrale est un crucifix vu du ciel), tracer un graphique du rapport du mât avec la traverse, et s'amuser à regarder si ce rapport trace une courbe en cloche dont le sommet correspond à la valeur de phi. Très certainement, le résultat ne serait pas très éloigné. Mais inévitablement on verrait des exceptions d'origine culturelles : telle habitude prise dans telle région du monde de tracer les crucifix en rapport 1,9 par exemple, ou bien les croix grecques égalisées...
- démontrer que la nature elle-même respecte cette proportion. Mais là c'est beaucoup plus dur car le champ de recherche est totalement inépuisable : on s'expose à trouver une infinité d'exceptions. Mais dans certains domaines (voir les exemples donnés par Usdyc) il me semble aussi que le rapport revient assez fréquemment et il pourrait être instructif d'en dresser une liste...
Soit φ = (1+√5)/2
C'est effectivement vers ce nombre que tendent les rapports consécutifs de la suite de Fibonacci comme le montre très bien Usdyc
Les deux longueurs a et b telles que φ = a/b, si on en fait les côtés d'un rectangle, ont l'air visuellement harmonieuses, beaucoup plus qu'un rapport a/a, 2a/a ou a²/a qui ont plutôt l'air carré, ou oblong et disproportionné. Ainsi nous, lecteurs de CL, avons tous remarqué que tenir un livre carré à quelque chose d'inconfortable, tout comme un livre de rapport 2a/a. Le rapport choisi par les éditeurs n'est pas toujours le même mais on peut supposer que lui, aussi, tend à peu près vers une longueur idéale qui serait φ.
Les théories impliquant le nombre d'or ont deux objectifs très ambitieux et parfois brocardés pour cela car ils dépassent le cadre strict des mathématiques :
- démontrer que les ouvrages humains impliquent une recherche inconsciente de ce chiffre comme référence harmonieuse. Par exemple, on pourrait examiner 1000 crucifix ou cathédrales (la cathédrale est un crucifix vu du ciel), tracer un graphique du rapport du mât avec la traverse, et s'amuser à regarder si ce rapport trace une courbe en cloche dont le sommet correspond à la valeur de phi. Très certainement, le résultat ne serait pas très éloigné. Mais inévitablement on verrait des exceptions d'origine culturelles : telle habitude prise dans telle région du monde de tracer les crucifix en rapport 1,9 par exemple, ou bien les croix grecques égalisées...
- démontrer que la nature elle-même respecte cette proportion. Mais là c'est beaucoup plus dur car le champ de recherche est totalement inépuisable : on s'expose à trouver une infinité d'exceptions. Mais dans certains domaines (voir les exemples donnés par Usdyc) il me semble aussi que le rapport revient assez fréquemment et il pourrait être instructif d'en dresser une liste...
Si je ne m'abuse, (1-√5)/2 est aussi solution de l'équation.
Bonjour,
Je ne peux pas imaginer que le nombre d'or soit une illusion.
- Les cartes de banque: r = 85,5/54 = ~ 1,61
- Faîtes le test avec un paquet de cigarettes.
- La valeur particulière de r (aussi appelé "phi") définit le rectangle d'or. Prenez la façade du Parthénon. Tracez un rectangle entourant toute la façade (du sommet du fronton au pied des marches). Les dimensions entre le milieu de chaque colonne correspond au nombre d'or. Dans ce même rectangle entre les colonnes, la dimension entre le sommet du fronton et le dessous du tablier (en-dessous des triglyphes) correspond aussi au nombre d'or par rapport à la dimension entre les triglyphes et le sol. Extraordinaire non !
Bonjour Usdyc, et merci de relancer ce fil ! Le nombre d'or n'est pas une illusion bien sûr dans le sens où il est issu d'une définition mathématique. La question que pose par contre Mario Livio c'est "trouve-t-on vraiment le nombre d'or dans les fabrications humaines, et les édifices en particulier ?". Sa réponse est la suivante, brutale, mais argumentée (je reprends en partie ma critique de son ouvrage):
- pour lui les mesures ne sont pas des preuves, la marge d’erreur (la façon dont on mesure) permettant de faire dire tout et n’importe quoi. Ainsi dans ton exemple de la carte bancaire, 85,5/54 = 1,583 et non pas 1,61. Mario Livio démolit les exemples célèbres de nombre d'or dans l'achitecture, y compris pour le la façade du Parthénon ou les Pyramides.
- Pour Mario Livio, en absence de trace bibliographique documentaire fiable, il est impossible d’affirmer que l’artiste ou l’architecte a utilisé le nombre d’or volontairement.
C'est ce dernier point qui m'interroge: contrairement à ce qu'il dit, a-t-on des preuves documentaires que ce nombre d'or est utilisé, dans les cathédrales, comme ce que le compagnon avance dans le documentaire que je cite ?
Pour répondre à Martin sur la supériorité du nombre d'or en matière d'harmonie, Mario Livio est aussi brutal dans son ouvrage: pour lui les questions d'harmonie ne sont que subjectivité pure et habitude de l'esprit. Dans un amusant exercice montrant environ une trentaine de rectangle, il défie le lecteur de trouver ceux qui respectent le nombre d'or...
Par contre il semble bien que les termes de la suite de Fibonacci se retrouvent dans certaines constructions naturelles.
Si je ne m'abuse, (1-√5)/2 est aussi solution de l'équation.
En effet, j'ai fait une erreur, c'est l'unique solution positive.
à Fanou : Le fait que nos préférences soient subjectives n'empêche pas notre préférence très répandue pour certains formats d'édition et notre rejet d'autres formats. Moi je pense qu'effectivement j'ai naturellement une affection pour un format donc le rapport varie entre 1,5 et 1,9. Comme le nombre d'or est dans cette fourchette, je crois que la théorie avancée n'est pas impossible mais c'est vrai que si on fait un vrai calcul ça serait mieux :
Calcul adapté à CritiquesLibres
Prenons un millier de formats d'édition (en utilisant les illustrations de couverture sur CL) on aurait une réponse plus constructive à cette question. On compare 1000 ratios longueur/largeur, on fait un diagramme en colonnes, avec le ratio en abscisses et le nombre d'occurrences en ordonnées), et on regarde si un sommet se dégage et si ce sommet correspond à phi. Si qqn est chaud pour faire le calcul... haha pas tous en même temps^^
Calcul adapté à CritiquesLibres
Prenons un millier de formats d'édition (en utilisant les illustrations de couverture sur CL) on aurait une réponse plus constructive à cette question. On compare 1000 ratios longueur/largeur, on fait un diagramme en colonnes, avec le ratio en abscisses et le nombre d'occurrences en ordonnées), et on regarde si un sommet se dégage et si ce sommet correspond à phi. Si qqn est chaud pour faire le calcul... haha pas tous en même temps^^
Coucou Martin !
J'étais imprégné dur comme fer que le nombre d'or correspondait à une proportion largement utilisé en architecture notamment et qu'il correspondait effectivement à une proportion idéale. J'avoue que l'intraitable Mario Livio m'a mis un doute sur le sujet...C'est un physicien, pour lui 1,58 n'est pas 1,61 et une fourchette entre 1,5 et 1,9 serait j'en suis sûr déjà trop large à son goût pour prouver quoi que ce soit. Il te dirait j'en suis sûr que Phi est également dans la fourchette de 1 à 2....;°)
Bon en tout cas cela a bien ébranlé ce que je croyais savoir sur l'utilisation de Phi dans les arts. Mario Livio est sans doute un peu fanatique dans cette entreprise de déconstruction, mais cela fait réfléchir sur la question...
J'étais imprégné dur comme fer que le nombre d'or correspondait à une proportion largement utilisé en architecture notamment et qu'il correspondait effectivement à une proportion idéale. J'avoue que l'intraitable Mario Livio m'a mis un doute sur le sujet...C'est un physicien, pour lui 1,58 n'est pas 1,61 et une fourchette entre 1,5 et 1,9 serait j'en suis sûr déjà trop large à son goût pour prouver quoi que ce soit. Il te dirait j'en suis sûr que Phi est également dans la fourchette de 1 à 2....;°)
Bon en tout cas cela a bien ébranlé ce que je croyais savoir sur l'utilisation de Phi dans les arts. Mario Livio est sans doute un peu fanatique dans cette entreprise de déconstruction, mais cela fait réfléchir sur la question...
C'est un physicien, pour lui 1,58 n'est pas 1,61 et une fourchette entre 1,5 et 1,9 serait j'en suis sûr déjà trop large à son goût pour prouver quoi que ce soit.
Evidemment qu'elle est trop large ;-) relis-moi, je n'en parlais aucunement comme d'une preuve pour φ mais un indice montrant que nos préférences nous emmènent vers une fourchette, ce qui rend déjà l'"harmonie" une notion moins subjective, et que si ça se trouve elles se dirigent vers une valeur, d'où ma proposition de faire un calcul dans le but de trouver cette valeur si elle existe.
Une partie du problème que Livio soulève est que l'enthousiasme créé autour de φ a créé bien des contresens. Il me semble que tout l'intérêt de φ c'est d'essayer de démontrer non pas une utilisation consciente de ce chiffre en art/architecture (là je n'y crois pas du tout) mais plutôt que nos goûts convergent vers lui de façon inconsciente. C'est bien cela qui motive nos amis fascinés par ce chiffre et qui lui consacrent des livres. Je ne sais pas si c'est vrai, en tout cas une telle démarche a sûrement ses limites, mais mérite qu'on y regarde de plus près.
Je crois Martin que tu as bien compris effectivement comment se positionne Mario Livio ! Et il faudrait faire en effet sans doute beaucoup de mesures pour permettre de dégager une tendance !
Remarque bien que Mario Livio est lui aussi fasciné par Phi: il met tout le côté extraordinaire de Phi dans ses propriétés mathématiques, vraiment étonnantes. D'ailleurs il n'est pas loin, dans un élan philosophique, d'y voir "la main de Dieu"...
Remarque bien que Mario Livio est lui aussi fasciné par Phi: il met tout le côté extraordinaire de Phi dans ses propriétés mathématiques, vraiment étonnantes. D'ailleurs il n'est pas loin, dans un élan philosophique, d'y voir "la main de Dieu"...
Voici un excellent documentaire sur le sujet (en franaçais) : https://www.youtube.com/watch?v=JTy3v9_nZH8
Oui c'est très bien fait comme documentaire. Je trouve fascinant cette idée que les mathématiques existent indépendemment de nous dans la nature. Par rapport la structure d'un arbre suit une fractale, chaque branche, rameau,... répète à l'infini le même schéma ce qui permet à l'arbre de supporter un poid immense. C'est une architecture incroyable ! J'avais lu ce livre sur les nombres premiers, critiqué par Kinbote : https://www.critiqueslibres.com/i.php/vcrit/24362. Un peu compliqué mais passionnant aussi.
à Saule et à tous : https://www.youtube.com/watch?v=Y4ICbYtBGzA
Voilà une vidéo (et toute la chaîne est super) qui fait vraiment aimer les mathématiques
Voilà une vidéo (et toute la chaîne est super) qui fait vraiment aimer les mathématiques
Juste une modeste remarque liminaire en passant, à propos des constructeurs, depuis les églises paléochrétiennes jusqu'au gothique inclus. J'ai trouvé jadis ces informations résumées dans je ne sais plus quel bouquin (Dictionnaire des Eglises de France, en plusieurs volumes..? épuisé et jamais réédité à ma connaissance, hélas),
Pas d'ordis, pas de tables de log., pas de rapporteur, pas de calculs in situ, les maîtres maçons/tailleurs de pierres opéraient avec seulement trois instruments : - règle,- compas - équerre, grâce auxquels ils pouvaient tracer directement sur la pierre brute le parcours de leurs outils.
Ainsi une clef de voûte s'obtenait en divisant un cercle en sept parties égales, avec les instruments décrits plus haut. Et les rapports de proportion propres à l'édifice où ils avaient été appliqués étaient (si le décor l'autorisait) reportés et fixés dans les dimensions de la mandorle où figurait le Christ en majesté...La mandorle étant, en tant que figure géométrique, l'intersection de deux cercles de rayons égaux. Les proportions réciproques des deux axes donnaient symboliquement (et pratiquement) la clef des dimensions à retenir.
Si pas de mandorle disponible...??? Je n'ai pas de réponse, mais peut-être un autre signe de proportionnalité a-t-il; été prévu.
Pas d'ordis, pas de tables de log., pas de rapporteur, pas de calculs in situ, les maîtres maçons/tailleurs de pierres opéraient avec seulement trois instruments : - règle,- compas - équerre, grâce auxquels ils pouvaient tracer directement sur la pierre brute le parcours de leurs outils.
Ainsi une clef de voûte s'obtenait en divisant un cercle en sept parties égales, avec les instruments décrits plus haut. Et les rapports de proportion propres à l'édifice où ils avaient été appliqués étaient (si le décor l'autorisait) reportés et fixés dans les dimensions de la mandorle où figurait le Christ en majesté...La mandorle étant, en tant que figure géométrique, l'intersection de deux cercles de rayons égaux. Les proportions réciproques des deux axes donnaient symboliquement (et pratiquement) la clef des dimensions à retenir.
Si pas de mandorle disponible...??? Je n'ai pas de réponse, mais peut-être un autre signe de proportionnalité a-t-il; été prévu.
Pas d'ordis, pas de tables de log., pas de rapporteur, pas de calculs in situ, les maîtres maçons/tailleurs de pierres opéraient avec seulement trois instruments : - règle,- compas - équerre, grâce auxquels ils pouvaient tracer directement sur la pierre brute le parcours de leurs outils.
Sans oublier la corde d'arpenteur à 12 nœuds qui permet aussi de retomber sur le nombre d'or !! (https://xavier.hubaut.info/coursmath/var/…).
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